Réponses aux Questions (FAQ)
Les valeurs propres
Qu'est ce qu'une valeur propre d'une
matrice ? (Définition)
Les valeurs propres d'une matrice carrée \(M\) de taille \(m
\times m\) (2x2, 3x3, 4x4, etc.),
sont les
scalaires notées avec le caractère lambda \(\lambda\) qui sont associés aux vecteurs propres \(\vec{v}\)
tels que
\(M.\vec{v} = \lambda \vec{v}\). En pratique, les valeurs propres \(\lambda\) de la matrice
\(M\) sont
les
racines de son polynôme
caractéristique
\(P\) car \((M - \lambda I_m).\vec{v} = 0\) (avec \(I_m\) la matrice identité de taille \(m\)).
Comment calculer les valeurs propres
d'une matrice ?
Pour déterminer/trouver les valeurs propres d'une matrice,
calculer les racines de son polynôme
caractéristique.
Exemple : La matrice 2x2 (d'ordre 2) \(M =
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3
\end{bmatrix}\) a
pour polynôme caractéristique \(P(M) = x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)\). Les racines de \(P\)
sont
trouvées
par le calcul \(P(M) = 0 \iff x = -1\) ou \(x = 5\). Les valeurs propres de la matrice \(M\)
sont donc
\(-1\) et \(5\). NB : les vecteurs propres associés sont \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2
\end{bmatrix}\) pour
\(5\)
et \(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\) pour \(-1\)
Combien de valeurs propres a une
matrice ?
Une matrice carrée de dimension/taille \(n\) possède \(n\)
valeurs propres. Attention cependant,
certaines
valeurs propres peuvent être identiques, pour connaitre le nombre de valeurs propres distinctes
(sans
multiplicité) alors calculer les racines (distinctes) du polynome caractéristique de la matrice.
Les vecteurs propres
Qu'est-ce que sont les vecteurs
propres d'une matrice ? (Définition)
Un vecteur propre d'une matrice est un vecteur caractéristique
(ou axe ou direction privilégiée)
sur
lequel
une transformation linéaire se comporte comme une multiplication scalaire par
une
constante
nommée valeur propre.
En d'autres termes, ce sont les vecteurs qui ne changent que
d'une échelle lorsqu'ils sont
multipliés par
la
matrice.
L'ensemble des vecteurs propres forment un espace propre.
Comment calculer les vecteurs propres
d'une matrice ?
Pour trouver/déterminer des vecteurs propres, prendre \(M\)
une matrice carrée d'ordre \(n\) et
\(\lambda_i\)
ses valeurs propres.
Les vecteurs propres sont les solutions du système \((M -
\lambda I_n) \vec{X} = \vec{0}\) avec
\(I_n\)
la
matrice identité.
Exemple : Soit la matrice 2x2 \(M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4
& 3 \end{bmatrix}\)
Les valeurs propres de la matrice \(M\) sont \(\lambda_1 = 5\)
et \(\lambda_2 = -1\)
Pour chaque valeur propre, rechercher le vecteur propre
associé.
Exemple : Pour \(\lambda_1 = 5\), résoudre \((M - 5I_n)\vec{X}
= \vec{0}\) soit :
\[
\begin{bmatrix}
1 - 5 & 2 \\
4 & 3 - 5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]
soit le système d'équations équivalent :
\[
\begin{align*}
-4x_1 + 2x_2 &= 0 \\
4x_1 - 2x_2 &= 0
\end{align*}
\]
qui admet plusieurs solutions, dont \(x_1 = 1\) et \(x_2 =
2\). Donc, le vecteur propre associé à
\(\lambda_1
= 5\) est \(\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)
Le déterminant d'une matrice
Qu'est-ce que le déterminant d'une
matrice ? (Définition)
Le déterminant d'une matrice est une valeur associée à une
matrice (ou aux vecteur la
définissant), cette
valeur est très pratique dans divers calculs matriciels.
Comment calculer le déterminant d'une
matrice ?
Pour une matrice carrée d'ordre 2 (2x2), effectuer le calcul :
\[
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
= ad - bc
\]
Un moyen mnémotechnique est de soustraire la première
diagonale à la seconde.
Pour les matrices de taille supérieure comme 3x3, le
déterminant d'ordre 3 se calcule :
\[
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}
= a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i
\end{vmatrix} + c
\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}
\]
Les sous-matrices calculées sont appelées des mineurs de la
matrice originale.
L'idée est la même pour les matrices d'ordre supérieur :
Comment calculer le déterminant d'une
matrice non carrée ?
Le déterminant d'une matrice non carrée n'est pas défini, il
n'existe pas selon la définition du
déterminant.
Quelle est la formule de calcul de
déterminant d'une matrice d'ordre n ?
Il n'existe pas de formule autre que l'explication ci-dessus
pour le cas général d'une matrice
d'ordre n.
Comment calculer le déterminant d'une
matrice 1x1 ?
Pour une matrice 1x1, le déterminant est le seul élément de
la matrice.
\[
\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1
\]
Quel est le déterminant d'une matrice
identité ?
Une matrice identité a pour déterminant 1.
\[
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix}
= 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1
\]
Exemple :
\[
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= (1 \times 1 \times 1) - (1 \times 0 \times 0) + (0 \times 0 \times 0) - (0 \times 0 \times 1)
+ (0
\times
0 \times 0) - (0 \times 1 \times 0) = 1
\]
Seul le terme correspondant à la multiplication de la
diagonale vaudra 1 et les autres termes
seront
nuls.
Quel est le déterminant d'une matrice
transposée ?
Une matrice transposée a le même déterminant que la matrice
non transposée et donc une matrice a
le même
déterminant que sa propre matrice transposée.
Comment trouver le déterminant d'une
matrice à partir de ses valeurs propres ?
Le déterminant d'une matrice \(M\) est le produit de ses
valeurs propres (valeurs complexes et
éventuelle
multiplicité comprises).
Cette propriété est valable pour toute taille de matrice
carrée (2x2, 3x3, 4x4, 5x5, etc.)
Une matrice diagonale
Qu'est-ce qu'une matrice diagonale ?
(Définition)
Une matrice diagonale est une matrice dont les éléments hors
de la trace (la diagonale
principale) sont
tous
nuls.
Exemple :
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\]
La diagonalisation est une transformation utilisée en algèbre
linéaire afin de pouvoir ensuite
réaliser
des
calculs plus facilement.
Qu'est-ce qu'une matrice
diagonalisable ? (Définition)
Une matrice est diagonalisable s'il existe une matrice
inversible \(P\) et une matrice diagonale
\(D\)
telle
que \(M = PDP^{-1}\)
Comment diagonaliser une matrice
?
Pour diagonaliser une matrice, une méthode de diagonalisation
consiste à calculer ses vecteurs
propres et
ses valeurs propres.
Exemple : La matrice \(M = \begin{pmatrix} 1
& 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) a pour
valeurs
propres \(3\) et \(-1\) avec pour vecteurs propres respectivement \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1
\end{pmatrix}\)
et \(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). La matrice diagonale \(D\) est composée des
valeurs
propres.
\[
D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
La matrice inversible \(P\) est composée des vecteurs propres
dans le même ordre de colonnes que
les
valeurs
propres associées. \(P\) doit être une matrice normalisée.
Exemple : \(P = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1
\end{pmatrix}\)
Comment prouver qu'une matrice n'est
pas diagonalisable ?
Une matrice n'est pas diagonalisable si elle n'a pas autant
de vecteurs propres distincts qu'elle
n'a de
dimensions.
Exemple : La matrice de dimension 2
\(\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5
\end{pmatrix}\) a
une
valeur propre double \(5\) et donc un seul vecteur propre \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0
\end{pmatrix}\), elle
n'est donc pas diagonalisable. Une matrice \(3 \times 3\) avec une valeur propre triple et donc
un seul
vecteur propre n'est pas diagonalisable.
Comment vérifier un calcul de matrice
diagonalisée ?
Calculer l'inverse de la matrice \(P\). La diagonalisation
doit vérifier \(PDP^{-1} = M\).
